도구명 : OMARS 설계

표준 순서는 실험 조건을 식별하는 고정 번호입니다. 반응값은 표에 직접 입력하거나 엑셀에서 한 열을 복사해 붙여넣을 수 있습니다.

복사와 엑셀용 저장은 현재 표시한 수준·순서를 따릅니다. 작업 저장은 인자 설정, 설계표, 반응값을 함께 보관합니다.

위에서 선택한 반응의 적합 모형으로 실험영역(코드값 −1 ~ +1) 안의 최적조건을 탐색합니다. 같은 반응의 두 분석 모형을 비교하려면 결과 아래 [두 모형 결과 비교]를 누르세요.

두 반응 모두 분석이 끝나면, 각 반응의 목표와 허용 범위를 만족도(0~1)로 바꾸고 종합 만족도가 가장 높은 공통 조건을 찾습니다. 이 값은 성공 확률이 아니라 사용자가 설정한 목표의 충족 정도입니다.

OMARS 설계란

OMARS(Orthogonal Minimally Aliased Response Surface) 설계는 주효과끼리 직교하고 주효과가 제곱항·2인자 교호작용과 전혀 겹치지 않는 3수준 설계입니다(Núñez Ares & Goos, 2020). CCD·Box-Behnken·DSD가 모두 이 조건을 만족하는 특수한 경우이며, OMARS 목록은 그 사이의 실험 횟수를 채워 줍니다. 실험 횟수가 적은 설계는 중요한 인자를 선별하는 데 쓰고, 모든 인자의 2차모형을 한 번에 분석하려면 "전체 2차모형 추정 가능" 설계를 고릅니다. 설계점 기준으로 3인자 12회, 4인자 20회, 5인자 24회, 6인자 42회, 7인자 54회부터 가능합니다.

설계 방식과 선택 순서

OMARS 목록: 인자 수별로 설계점 8~64회, 런 수당 최대 4개 후보(총 96개)의 자체 설계 중에서 고릅니다. DSD 결합: DSD의 열 순서와 부호를 바꿔 2~4개 이어 붙이며(Vázquez·Goos·Schoen(2025)의 cOMARS 구성법), 무작위 시작 후 부호 반전·열 교환 국소 탐색으로 2차항 겹침을 줄입니다. 설계 번호로 다른 후보 조합을 탐색합니다. 총 실험 횟수는 설계점 수에 중심점 수를 더한 값입니다. 두 방식 모두 OMARS의 직교 조건을 만족하지만 어느 한 방식이 항상 우수하지는 않으므로 다음 순서로 선택하세요.

1. 필요한 모형의 추정 가능 여부: 분석하려는 주효과·제곱항·교호작용을 함께 계산할 수 있는지 먼저 확인합니다.
2. D-효율과 효과 겹침 비교: 같은 인자 수·총 실험 횟수·중심점 수·코드화·모형에서 비교합니다. D-효율은 클수록, 2차항의 최대 절대상관과 상관 RMS는 작을수록 좋습니다. D-효율이 높은 설계도 일부 효과의 겹침은 더 클 수 있으며, 목적에 따라 두 기준의 우선순위가 달라집니다.
3. 실험 비용·중요 인자의 정밀도 고려: 실행할 수 있는 실험 횟수와 비용, 특히 정확하게 추정해야 하는 인자의 분산계수를 함께 보고 결정합니다.

후보 설계 고르기

같은 인자 수·실험 횟수에 후보가 여러 개 있을 때는 A 효율 우선(D-효율 최대), B 겹침 최소(효율을 85% 이상 유지하면서 2차항 상관 RMS 최소), C 주효과 균등(모든 인자의 중간 수준 횟수가 같아 주효과의 정밀도가 균등; 제곱항의 정밀도는 인자마다 다를 수 있으므로 분산계수 표를 확인), D DSD 결합형(DSD 2~4개를 열 순서·부호 최적화로 이어 붙인 cOMARS 설계, 6~7인자 선별에 유리) 가운데 고릅니다. 전체 2차모형이 필요하면 "가능"인 후보를, 선별이 목적이면 주효과 검정력이 높고 겹침이 적은 후보를, 어느 인자를 어느 열에 둘지 아직 정하지 않았으면 C가 무난하지만, 제곱항 정밀도까지 같아지는 것은 아닙니다. 표의 지표는 입력한 중심점 수를 포함해 계산합니다.

품질 지표 읽는 법

D-효율은 det(X'X/n)^(1/p)로, 1에 가까울수록 실험 1회당 정보량이 많습니다. 같은 인자 수·실험 횟수·중심점 수의 CCD와 비교하는 기준으로 쓸 수 있습니다. 최대 절대상관은 2차항 쌍 가운데 가장 많이 겹치는 정도, 상관 RMS는 2차항 쌍별 절대상관의 제곱평균제곱근입니다. 분산계수는 계수 추정치의 분산 ÷ (σ²/n)로 작을수록 정밀합니다. 검정력은 계수의 참값이 1σ(수준 −1→+1 변화로 반응이 2σ 변화)일 때 α=0.05 양측 t 검정으로 유의하게 검출할 확률이며, 비중심 t 분포로 계산합니다. 오차 자유도가 작은 소형 설계에서는 검정력이 낮게 나오는 것이 정상입니다. 상대 예측분산 n·Var(ŷ)/σ²과 FDS 그래프는 실험영역 안에서 예측이 얼마나 고르게 정밀한지 보여 주며, 곡선이 낮고 평평할수록 좋습니다. 주효과는 중간(0) 횟수가 적을수록 정밀하지만, 제곱항의 정밀도는 0의 개수가 아니라 0이 놓인 위치와 다른 항과의 겹침에 따라 달라지므로 표의 수치로 직접 비교하세요. 실험 횟수가 많아도 서로 겹치는 항이 있으면 전체 모형을 계산할 수 없으므로, 모든 지표는 중심점을 포함한 실제 설계표에서 계산합니다.

반응변수 2개 입력과 동시 최적화

섹션 1에서 반응변수 개수를 2개로 두면 설계표에 두 입력 열이 생깁니다. 엑셀에서 한 열씩 붙여넣거나, 두 열을 함께 복사해 첫 반응변수 칸에서 붙여넣을 수 있습니다(두 열 붙여넣기는 첫 반응변수 칸에서만 시작). 빈칸·잘못된 숫자·행 수 초과는 안내가 표시되며, 불완전한 자료는 채우거나 지우지 않고 분석을 막습니다. 반응변수를 2개에서 1개로 바꾸면 두 번째 반응값은 다음 설계표 생성 때 삭제되므로 먼저 확인을 받습니다. 작업 저장·불러오기·엑셀 내보내기에는 두 반응값과 이름이 모두 들어가며, 반응 1개로 저장한 이전 작업 파일도 그대로 불러올 수 있습니다.

섹션 4에서는 반응 탭을 눌러 각 반응을 따로 분석합니다. 분석 방식·시작 모형·α는 반응별로 설정하며, 실제 사용 모형 표시, 계산 불가 안내, 항 선택·재적합, 판정 유의수준 0.05 고정, 탐색적 p값 안내는 반응별로 같게 적용됩니다. 섹션 5는 선택한 반응 하나의 최적화이고, [두 모형 결과 비교]는 같은 반응의 두 분석 모형(모형 유지 vs 자동선별)을 비교합니다. 섹션 6은 두 반응을 동시에 만족하는 조건을 찾는 다른 기능입니다.

섹션 6의 동시 최적화는 반응마다 목표를 정합니다. 최대화는 허용 하한과 목표값, 최소화는 목표값과 허용 상한, 목표값 맞추기는 허용 하한·목표값·허용 상한을 입력합니다. 예측값은 Derringer–Suich 방식의 만족도 d(0~1)로 바뀝니다: 허용 기준을 벗어나면 0, 목표에 도달하면 1, 그 사이는 직선(첫 버전은 선형으로 고정). 종합 만족도는 중요도(1~5)를 반영한 가중 기하평균 D = (d₁^w₁ × d₂^w₂)^(1/(w₁+w₂))이며, 한 반응이라도 0이면 D=0입니다. D는 성공 확률이 아니라 사용자가 설정한 목표의 충족 정도이고, 표의 신뢰·예측구간은 각 반응 모형의 개별 구간입니다. 탐색은 격자 탐색과 준난수 표본에서 출발한 좌표별 정밀 탐색으로 전역 최적을 보장하지 않으며, 모든 후보의 D가 0이면 조건을 찾지 못했다고 알립니다. 반응값·설계 설정·분석 설정·모형 항이 바뀌면 해당 반응의 결과를 이전 결과로 표시하고 재분석·재적합 전까지 최적화·비교·동시 최적화를 막으며, 목표·허용 범위·중요도·조정 단위를 바꾸면 동시 최적화 결과를 즉시 지웁니다. 동시 최적화에는 각 반응에서 현재 확정한 모형을 사용하고 결과에 표시합니다.

설계 목록 구성 및 검증

UniAP OMARS 목록의 각 설계는 인자 부분집합에 배치한 직교 블록(완전요인, Resolution IV 이상 분수요인, 축점 쌍, 컨퍼런스 행렬 폴드오버·DSD, Plackett-Burman 폴드오버)의 합집합입니다. 2수준 부분이 균형·쌍직교이고 3차 모멘트가 0인 블록은 어떻게 합쳐도 OMARS 조건이 자동으로 성립하므로, 블록 조합을 탐색하면서 전체 2차모형의 D-효율(전체 모형 추정이 불가능하면 주효과+제곱항 모형의 D-효율과 2차항 상관)을 기준으로 인자 수·실험 횟수별 최선의 조합을 골랐습니다. 인자별 중간 수준 횟수 차이는 4회 이내로 제한했습니다.

검증(중심점 1회 기준): 3인자 14회는 면중심 CCD, 4인자 24회는 CCD, 8·12회 설계는 DSD와 동일한 구조가 재발견되었습니다. 7인자 32회 D 후보(DSD 결합형)는 Vázquez·Goos·Schoen(2025) Table 2의 공개 OMARS 설계와 2차항 최대 절대상관 0.367, 상관 제곱합 16.08(중심점 2회 기준)이 정확히 일치하며, 같은 논문 Table 4에 요약된 논문 catalog 7인자 32회 설계 18개 가운데 최상위 수준입니다. 5인자 26회 설계의 D-효율 0.448은 같은 크기 CCD(반분 요인 + 축점)의 0.427보다 높고, 6인자 44회는 CCD와 동일하며, 7인자 54회 설계(D-효율 0.401)는 CCD(78회) 없이 전체 2차모형을 추정할 수 있는 가장 작은 목록 설계입니다. 이 목록은 논문의 55,531개 목록이나 상용 소프트웨어(Effex, JMP 애드인)의 목록을 복제한 것이 아니라 논문의 정의를 따르는 UniAP 자체 구성이며, 전역 최적을 보장하지는 않습니다.

반응값 분석과 최적화

반응값을 모두 입력하면 2차 회귀모형을 적합합니다. 분석 방식은 두 가지입니다. 모형 유지 분석은 시작 모형(전체 2차모형 또는 교호작용을 제외한 주효과+제곱항 모형)을 그대로 적합하고 항을 제거하지 않습니다. 전체 2차모형을 계산할 수 없는 설계에서는 주효과+제곱항 모형으로 바꾸며, 이 사실을 결과에 표시합니다. 탐색적 자동선별은 시작 모형에서 비유의(p>α) 제곱항·교호작용을 하나씩 제거하고 주효과는 계층 원칙에 따라 유지합니다. 자동선별 후 p값은 탐색적으로 해석하고, 추천 최적조건은 확인실험으로 검증하세요. 모의실험(5인자 26+3회)에서 α=0.05 자동선별의 항별 오검출률은 약 10%로 명목 5%를 넘었고, α를 낮추면 오검출은 줄지만 약한 곡률항이 빠져 최적조건이 경계로 밀리는 경향이 있었습니다. α는 오검출률을 보장하는 값이 아니며, 설계·자료에 따라 달라집니다. 잔차가 거의 0인 자료(반올림된 값이나 계산으로 만든 자료)에서는 p값이 정의되지 않아 자동선별이 항을 제거하지 못할 수 있으며, 이는 계산상의 한계입니다. 항 선택표에서 직접 조정한 뒤 재적합할 수도 있습니다. 적합결여 검정은 중심점·반복점의 순수오차를 사용하며, 순수오차 자유도가 작으면 검정력이 낮습니다.

최적화는 코드값 −1~+1 범위에서 격자 탐색(인자 4개 이상은 좌표별 정밀 탐색 병행)으로 최적조건을 찾고, 95% 신뢰구간·예측구간과 함께 표시합니다. 최적조건이 경계에 있으면 영역 이동 후속 실험을 검토하세요. [두 모형 결과 비교]를 누르면 모형 유지 분석과 탐색적 자동선별의 추천 조건을 같은 반응값·범위·목표·조정 단위로 나란히 보여 줍니다. 경계 표시는 각 모형의 추천값이 범위 끝값이라는 뜻이고, 두 모형의 차이와는 별개입니다. 각 모형의 예측값은 자기 모형의 예측이므로 예측값 크기로 모형의 우열을 판정하지 마세요. 등고선은 두 인자를 축으로 하고 나머지는 고정값(기본: 최적조건)으로 둔 예측면입니다.

참고: J. Núñez Ares & P. Goos (2020), Enumeration and multicriteria selection of orthogonal minimally aliased response surface designs, Technometrics 62(1), 21–36. · P. Goos (2025), OMARS designs for factor screening and response surface experimentation in one step: A review, WIREs Computational Statistics 17, e70018.

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